Série de Cauchy - Produit de Cauchy

soient $\displaystyle\sum_{i\geqslant0}a_i$ et $\displaystyle\sum_{j\geqslant0}b_j$ deux séries
On appelle série de Cauchy ou produit de Cauchy la série $\displaystyle\sum_{k\geqslant0}c_k$, où $$c_k={{\sum^k_{i=0}a_ib_{k-1} }}={{\sum_{i+j=k}a_ib_j}}$$

Théorème :
Si les séries $\sum^{+\infty}_{i=0}a_i$ et $\sum^{+\infty}_{j=0}b_j$ de nbres complexes sont absolument convergentes, alors la série $$\sum^{+\infty}_{k=0}c_k={{\sum^{+\infty}_{k=0}\left(\sum^{+\infty}_{i=0}a_ib_{k-1}\right)}}$$est absolument convergente, et on a : $$\sum^{+\infty}_{k=0}c={{\left(\sum^{+\infty}_{i=0}a_i\right)\times\left(\sum^{+\infty}_{j=0}b_j\right)}}$$

(Série absolument convergente)

Exercices

Consigne: Montrer que la fonction $$q(x)=\frac{e^x}{1-x}$$ possède un développement en série entière au voisinage de l'origine
Et donner une expression des termes de ce développement
(par récurrence)

Développer l'égalité avec les séries entières
$$\begin{align}\left(\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n\right)(1-x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}&\implies \sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n-\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{n+1}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}\end{align}$$

Changement de variable pour que les puissances sur les $x$ soient les mêmes
$$\implies\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n-\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n-1}x^{n}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$$

Sortir les premiers termes pour que les séries aient les mêmes termes
$$\implies a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}a_nx^n-\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n-1}x^n=1+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$$

En déduire un système de récurrence
$$\implies\begin{cases} a_0=1\\ a_n-a_{n+1}=\frac1{n!}\end{cases}$$

Vérification par récurrence

Hypothèse de récurrence : $a_n=\sum_{k=0}^{n}\frac1{n!}$ $\to$ vérifier par récurrence

Math'φsics

Formulaire de report

Exercices